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对于两棵树 T_1, T_2,定义它们的交 T_1 \cap T_2 是它们的边集的交形成的森林,k(T_1 \cap T_2)表示这个森林的连通块个数,求下列三种问题之一:

  1. 给定 T_1, T_2,求 y^{k(T_1\cap T_2)}

  2. 给定 T_1,求 \sum_{T_2}y^{k(T_1\cap T_2)}

  3. 给定 n,求 \sum_{T_1}\sum_{T_2}y^{k(T_1\cap T_2)}

其中 n \leq 10^5 ,上面的 sum 是对所有 n^{n-2} 种可能的树求和。答案对 998244353 取模。

orzrqy

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先看 n=1 的情况,考虑令 a = w_{1, 1} ,用 f_i 表示跳了 i 步的答案,则 f_i = a^i \binom n i

考虑

\begin{aligned} ans &= \sum_{i \bmod k=m} f_i = \sum_{i \bmod k=m} a^i \binom ni \\ &= \sum_{i=0}^n [k|i-m] a^i \binom ni \\ &= \sum_{i=0}^n \frac 1k \sum_{j=0}^{k-1} \omega_k^{j(i-m)} a^i \binom ni \\ &= \frac 1k \sum_{j=0}^{k-1} \omega^{-mj}_k \sum_{i=0}^n \binom ni (\omega^{j}_k a)^i 1^{n-i} \\ &= \frac 1k \sum_{i=0}^{k-1} \omega^{-mi}_k \left(\omega^i_k a + 1\right)^n \end{aligned}

考虑后面的 \displaystyle{\left(\omega^i_k a + 1\right)^n} 对于固定的 i 是相同的,可以与先处理出 i \in [0, k) 的值,设为 c(i)

前面的部分有个暴力的做法就是多项式多点求值出多项式 \displaystyle{\frac 1k \sum_{i=0}^{k-1} x^i c(i)}\omega_k^0, \omega_k^{-1}, \omega_k^{-2} ... \omega_k^{-k+1} 的值,复杂度 O(k \log^2 k),然而貌似被针对了过不去 ...

考虑一个优秀一点的做法,如何处理 \omega^{-mj}?毛爷爷论文中有个做法是把 ij 拆成 \frac {(i+j)^2} 2 - \frac {i^2} 2 - \frac {j^2} 2 ,然而此题中可能存在单位根没有二次剩余的情况。考虑把 ij 拆成 \binom {i+j} 2 - \binom i2 - \binom j2 ,那么原式可以化为

\begin{aligned} ans &= \frac 1k \sum_{i=0}^{k-1} \omega^{-mi}_k c(i) \\ &= \frac 1k \sum_{i=0}^{k-1} \omega^{\binom {i-m} 2 - \binom i2 - \binom {-m}2} _k c(i) \\ &= \frac {\omega^{- \binom {-m}2}} k \sum_{i=0}^{k-1} \omega^{\binom {i-m} 2}_k \left( \omega^{- \binom i2}_k c(i)\right) \\ \end{aligned}

显然是一个卷积的形式,那么卷积下即可,复杂度 O(k \log k)

考虑 n \le 3 的情况,原来的转移会变成矩阵,感兴趣的读者可以先做下 BZOJ3328 PYXFIB ,与 n = 1 是本质相同的,并且可以发现 c(i) 仍然是一个常数,同理处理下再卷积即可。

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考虑最暴力的做法,列出 n 个生成函数,FWT 到一起,复杂度 \mathcal O(n \times 2^k \times k) ,显然不能通过。

考虑三元组 (a_i, b_i, c_i)ans_k 的贡献,等价于三元组 (0, a_i \operatorname{xor} b_i, a_i \operatorname{xor} c_i)ans_{k \operatorname{xor} a_i} 的贡献。考虑这样将题意转化后,生成函数只有 0a_i \operatorname{xor} b_ia_i \operatorname{xor} c_i 下标上有值(分别为 a, b, c)。那么经过一次 FWT 后,只有四种值,分别为 a+b+c, a+b-c, a-b+c, a-b-c

考虑将 n 个生成函数加起来做 FWT ,假设 a+b+c, a+b-c, a-b+c, a-b-c 分别在其中出现了 x, y, z, w 次,那么这个位置在正常做法情况下的值应该为 (a+b+c)^x \times (a+b-c)^y \times (a-b+c)^z \times (a-b-c)^w ,也就是说我们需要解出这个 x, y, z, w 的值。

首先显然的 x + y + z + w = pp 是这位上当前的值。需要注意的是,这个 a, b, c 并不一定需要是题目中给出的,所以我们可以分别取 (0, 1, 0)(0, 0, 1) ,列出两个方程,此时我们若再通过改变 (a, b, c) 来列方程,则可以通过两个已有的来表示,本质相同的,需要考虑别的方式得到新的方程。

考虑构造一个新的多项式,对于每个 k = b_i \operatorname{xor} c_ik \text{+=} 1 ,这样的话可以得到一个新的方程 x + y + z + w = qq 是这位上当前的值。

这样的话我们就得到了四个本质不同方程,可以解除上面的 x, y, z, w ,得出正常 FWT 后应该得到的点值,再将其 IFWT 一次即可得到答案。

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DP 。用 f_{u, 0} 表示 u 点被染黑的概率,f_{u, 1} 表示 u 点被染白,但是其祖先中有点被染黑的概率,用 f_{u, 2} 表示 u 点被染白,且其祖先没有被染黑的点的概率。所求答案即 \displaystyle{\sum_{i=1}^n f_{i, 0}}

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考虑一段数 a_{l..r} 是公差为 k 的等差数列,当且仅当:

  • \max a_{l..r} - \min a_{l..r} = k(r - l)

  • \gcd abs(a_i - a_{i-1}) = k, (i \in (l, r])

  • \max pre_{l..r} < lpre_i 表示 a_i 上一次出现的位置。

线段树维护一下即可。

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榕树还是当年的榕树,你却不是当年的你了……

先点名表扬下这个题面,写的也太优美了吧 QAQ ...

假设我们只需要判断 1 号点能否成为最后的答案,用 f_i 表示取完 i 所在的子树的所有点后榕树的心离 i 的最近距离,那么答案即求 [f_1 = 0].

考虑 f_u 怎么求,最难消去的孩子是 \max (siz_v) (v \in son_u) 的孩子 v ,可以用其他子树的 siz 来填补这棵子树。代码中,另一部分的大小表示为 half ,这一部分表示为 f[max]

对于不以 1 为根的情况,可以把根节点到当前点 u 的路径缩成一个点来考虑,可以上下 DP 。

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一道傻逼 LCT ,结果调了好久。

首先直接离线处理,发现询问在中间做和在最后做是一样的,相当于一棵一棵树扫过去用 LCT 动态维护一个区间换父亲的操作,考虑用 LCT 建虚点,搞一搞即可。

需要注意这题查询两点间的距离的时候不能直接 split 出来,因为 LCT 上的 LCA 有可能是虚点,从而忽略了虚 LCA 到实 LCA 中间一段距离对答案的贡献。同时还注意点小细节,比如 1 号点的范围 233 .

另外这题保证了操作合法,就没必要费力不讨好的每次都 get_root 一下了,否则可能会 TLE 飞 。。。

关于如何求 LCT 上的 LCA :对于 \operatorname{access} 操作保存下最后一次的 \operatorname{splay}y 。先 \operatorname{makeroot}(root) ,再 \operatorname{access}(u) ,最后 \operatorname{access}(v) 返回的值就是答案。

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PKUWC 考挂的我只能争取省选翻盘了。

从寒假开始就没有再颓废过游戏了,唯一浪费时间的可能就是干了些工程向的东西。基本 follow 着 txc 和 zsy 的博客做题,有时旷掉考试

不知道这样的训练是否有用呢,ZJOI 会告诉我答案吧。

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