给定 n 个节点的树,每个点有个权值 a_i,保证 \{a_{1 \cdots n}\} 是一个 1n 的排列,求:

\frac 1 {n(n-1)} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \varphi(a_i \times a_j) \times \operatorname{dist}(i, j)

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一道非常有意思的(动态)DP 题。

讲道理的我考场上是会 70 分的但是由于 T1 傻逼了太久没调出来(报警了)

假设不修改的情况下答案为 W ,叶子节点的个数为 m,我们把总共的 2^m - 1 种选法分两种情况讨论:

  • W 被选中,这样的情况一共有 2^{m-1} 种,可见只要花费 1 的代价一定可以使根节点的值发生改变,下面不再讨论;
  • W 未被选中,这样的情况一共有 2^{m - 1} - 1 种,我们可以考虑 DP 解决。枚举当前的 C,求出所有花费代价 \leq C 的方案数,显然如果我们可以求得对于 C \in [L - 1, R],差分后就可得到答案数组。

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显然要把每个数分解质因数,我们根据质因数与 L = \sqrt{500} \approx 22 的大小分类讨论。

给每个小于 L 的数状压,由于只需要知道是否有这个质因子而不关心质因子的大小,而小于 L 的质数又只有 2,3,5,7,11,13,17,198 个,可以用一个 2^8 的数来表示。

给每个大于 L 的数开个桶,同一个桶里的数要么被 G 选要么被 W 选要么不选。桶里面放这个数小于 L 的因子状压完的值。

dp[i][S][T] 表示枚举到第 i 个桶,G 选择的质因子的表示为 S,W 选择的质因子的表示为 T 的方案数。f[i][S][T] 表示把第 i 个桶分配为只能由 G 取,g[i][S][T] 表示把第 i 个桶分配为只能由 W 取。注意处理双方都没取的情况,即 dp[i][S][T] = f[i][S][T] + g[i][S][T] - dp[i - 1][S][T]

因为总共只有 n \leq 500 个数,可以暴力的转移。实现中,第一维可以滚动掉,总时间复杂度 \mathcal O(n \times 2^{16})

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