洛谷5106 - dkw的lcm

积性函数的定义: 如果 $(a,b) = 1$ ,那么 $f(ab) = f(a) \times f(b)$ 。 显然欧拉函数是积性函数。

设 $lcm(i_1, i_2, …, i_k) = x$ ,我们把 $x$ 表示成 $x = \prod {p_i ^ {a_i}}$ 的形式。对每个 $p_i ^ { a_i }$ 分开考虑,枚举每个质数与幂次,用简单容斥统计出每个 $\varphi({p_i ^ {a_i}})$ 在答案中出现的次数,通过欧拉定理 + 快速幂计算答案。

假设我们当前枚举的质数为 $p^k$ ,我们把 $[1..n]$ 的数分成三个集合 $A, B, C$

  • 对于每个 $x \in A$ ,当且仅当 $p^k \not\mid x$;
  • 对于每个 $x \in B$ ,当且仅当 $p^k \mid x$ 且 $p^{k + 1} \not\mid x$ ;
  • 对于每个 $x \in C$ ,当且仅当 $p^{k+1} \mid x$。

则答案中 $\varphi({p^k})$ 的幂次相当于给 $k$ 个空位,只能放集合 $A$ 和 $B$ 中的元素且集合 $B$ 中的元素至少放一次的方案数,即 $(|A| + |B|)^k - |A|^k$,此处的值可能会超过 int 的存储范围,因而根据欧拉定理,对 $\varphi(10^9+7) $ (即 $ 10^9+6$ )取模。

代码:

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// =================================
// author: memset0
// date: 2018.12.16 16:21:24
// website: https://memset0.cn/
// =================================
#include <bits/stdc++.h>
namespace ringo {
typedef long long ll;

template <class T> inline void read(T &x) {
x = 0; register char c = getchar(); register bool f = 0;
while (!isdigit(c)) f ^= c == '-', c = getchar();
while (isdigit(c)) x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
if (f) x = -x;
}
template <class T> inline void print(T x) {
if (x < 0) putchar('-'), x = -x;
if (x > 9) print(x / 10);
putchar('0' + x % 10);
}
template <class T> inline void maxd(T &a, T b) { if (b > a) a = b; }
template <class T> inline void mind(T &a, T b) { if (b < a) a = b; }
template <class T> inline void print(T x, char c) { print(x), putchar(c); }
template <class T> inline T abs(const T &a) { if (a < 0) return -a; return a; }

const int N = 1e6 + 10, M = 16777217, p = 1e9 + 7;
int n, m, k, mi, ans = 1;
int phi[M], pri[M / 10];

int fpow(int a, int b, int p) {
int s = 1;
while (b) {
if (b & 1) s = (ll)s * a % p;
b >>= 1, a = (ll)a * a % p;
}
return s;
}

void main() {
read(n), read(k);
phi[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
if (!phi[i]) {
phi[i] = i - 1;
pri[++pri[0]] = i;
}
for (int j = 1; j <= pri[0] && i * pri[j] <= n; j++) {
if (i % pri[j] == 0) {
phi[i * pri[j]] = phi[i] * pri[j];
break;
} else {
phi[i * pri[j]] = phi[i] * (pri[j] - 1);
}
}
}
for (int i = 1; i <= pri[0]; i++) {
ll x = pri[i];
for (int j = 1, a, b; x <= n; j++, x *= pri[i]) {
a = n - n / x / pri[i];
b = - (n / x / pri[i]) + (n / x); // 请注意此处 a 、 b 变量分别为 |A| + |B|,|B| 。
mi = (fpow(a, k, p - 1) - fpow(a - b, k, p - 1) + p - 1) % (p - 1);
ans = ((ll)ans * fpow(phi[x], mi, p)) % p;
}
}
print(ans, '\n');
}

} signed main() { return ringo::main(), 0; }
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