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n 个格子上有 m 个棋子,Alice 和 Bob 轮流行动,每次可以选择一个棋子向左移动至少一步,但不能跨越已有的棋子,不能的移动的一方算输,求 Alice 必胜的方案数。

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有一个 n 个数的序列,每一个数在 1 \dotsc D 中随机生成,定义一个序列是合法的当且仅当能取出至少 m 个对子(相同的数),对于 D^n 种可能的序列,求合法序列数。D \leq 10^5, n, m \leq 10^9

羡慕你们能去 CTS 的 [大哭]

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傻逼题,写来放松身心。

考虑到 \displaystyle dep_u^k = \sum_{i=0}^{\infty} dep_{fa^i(u)}^k - dep_{fa^{i+1}(u)}^k,假设我们要求 \displaystyle dep_{\operatorname{lca}(u, v)},可以把 u1 的路径上每个点 x 加上 dep_x^k - dep_{fa(x)}^k 的权值,查询时从 v 向根节点跳把沿途的权值加上即可。

离线所有查询到 x 上,扫描 x,树剖维护修改和查询即可。

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定义一个基环树的点分治过程如下

  • 选定一个点 u
  • 断开所有与 u 相连的边
  • 对于剩下的每个联通块递归点分

定义一种选点方式的代价为每层的 size 之和。

求每次选点都在当前联通块内随机选择的期望代价。

n \leq 3000

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给定 n 个节点的树,每个点有个权值 a_i,保证 \{a_{1 \cdots n}\} 是一个 1n 的排列,求:

\frac 1 {n(n-1)} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \varphi(a_i \times a_j) \times \operatorname{dist}(i, j)

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